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矩阵和矩阵的逆有相同的特征向量吗

发布时间:2019-07-04 02:16 来源:未知 编辑:admin

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  从数学上看,如果向量v与变换A满足Av=λv,则称向量v是变换A的一个特征向量,λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

  假设它是一个线性变换,那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为:其中vi是向量在基向量上的投影(即坐标),这里假设向量空间为n 维。由此,可以直接以坐标向量表示。利用基向量,线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。

  但是,有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候,上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质,有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。

  若是一个微分算子,其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如,微分本身是一个线性变换因为(若M和N是可微函数,而a和b是常数)

  其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数,如果λ = 0,它就不变,如果λ为正,它就按比例增长,如果λ是负的,它就按比例衰减。例如,理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快,从而满足一个正λ的特征值方程。

  该特征值方程的一个解是N = exp(λt),也即指数函数;这样,该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数,我们称N的演变为指数衰减;若它是正数,则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。

  在这个例子中,算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维(因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的)。但是,每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N = N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数,也就在t=0的初始数量。

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