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线性代数:正交的向量一定线性无关吗?

发布时间:2019-08-09 22:26 来源:未知 编辑:admin

  对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。

  当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。

  始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。

  线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关 。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线个n维向量总是线性相关。

  抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中, 两个向量的内积如果是零, 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说, 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。

  当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

  当 λ 1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的λ倍

  当λ1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的 λ倍。

  数乘向量的消去律: 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

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