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混合积的几何意义

发布时间:2019-08-26 03:56 来源:未知 编辑:admin

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  几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值:

  1、以下恒等式,称作三重积展开或拉格朗日公式,对于任意向量 a,b。c 均成立:

  2、英文中有对于第一式有助记口诀 BAC-CAB (BACK-CAB,后面的出租车),但是不容易记住第一式跟第二式的变化,很容易搞混。 观察两个公式,可得到以下三点:

  两个分项都带有三个向量a,b。c ,三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合。中间的向量所带的系数一定为正(此处为向量b)。

  混合积的几何意义:几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值:

  三重积,又称混合积,是三个向量相乘的结果。向量空间中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重积,分别称作标量三重积和向量三重积。设a ,b ,c是空间中三个向量,则 (a×b)·c称为三个向量a,b,c的混合积,记作[a b c]或 (a,b,c) 或 (abc)。

  向量积方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

  而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

  混合积的几何意义:几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值:

  三重积,又称混合积,是三个向量相乘的结果。向量空间中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重积,分别称作标量三重积和向量三重积。设a ,b ,c是空间中三个向量,则 (a×b)·c称为三个向量a,b,c的混合积,记作[a b c]或 (a,b,c) 或 (abc)。

  4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。

  5、分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

  向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([ABACAD]),即向量的混合积为空间六面体的体积。

  例如上图中,AB ,AD ,AA1 的混合机几何意义就是如图所示的空间六面体的体积。

  混合积:设a,b,c是空间中三个向量,则(a×b)c称为三个向量a,b,c的混合积,记作[abc]或(a,b,c)或(abc).

  定义:设a,c是空间中三个向量,则(a×b)c称为三个向量a,b,c的混合积,记作[abc]或(a,b,c)或(abc).

  设a,b,c为空间中三个向量,则(a×b)c的几何意义表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积.

  ,从而混合积(a,b,c)的符号是正还是负取决于∠(a×b,c)是锐角还是钝角,即a×b与c是指向a,b所在平面的同侧还是异侧,这相当于a,b,c三个向量依序构成右手系还是左手系.

  向量的混合积有下述几何意义:以向量、、为棱作一个平行六面体,并记此六面体的高为,底面积为,再记,向量与的夹角为. 当与指向底面的同一侧时,;当与指向底面的相异一侧时,,综合以上两种情况,得到.而底面积. 这样,平行六面体的体积.即向量的混合积是这样的一个数,它的绝对值表示以向量、、为棱的平行六面体的体积.根据向量混合积的几何意义,可以推出以下结论:(1)三向量,,共面的充分必要条件;(2)空间四点共面的充分必要条件是.

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